Dzimis Igaunijā Sirenecas (tag. Vasknarvas) ciemā vietējās skolas skolotāja un direktora Aleksandra Žeiba ģimenē. 1927. gadā ģimene pārcēlās uz Rīgu. Alkesandrs Žeibe mācījās Rīgas valsts krievu ģimnāzijā, bet līdzekļu trūkuma dēļ izglītību nācās pārtraukt. No 1932. gada strādāja Kuzņecova porcelāna fabrikā, vienlaikus mācoties Rīgas komercinstitūtā. No 1934. līdz 1935. gadam - obligātajā karadienestā Igaunijas armijā. Pēc atgriešanās Rīgā strādāja akciju sabiedrībā "Furnieris", paralēli mācotes Fiziskās audzināšanas institūtā. Institūtu beidza 1940. gadā, strādāja par fizkultūras skolotāju Rīgas 13. pamatskolā (vēlāk - 67. septiņgadīgā skola). 1941. gadā apprecējās, seva Jevgeņija Žeibe, bērni: Valerija, Gaļina, Tatjana, Andrejs. No 1958. gada pasniedzējs Rīgas politehniskā institūta Fiziskās kultūras un sporta katedrā. 1966. gadā ievēlēts par docentu. 1974. gadā aizgāja pensijā. Miris 1994. gada 14. decembrī.