B. Ābers dzimis Rīgā. Studējis tiesības Latvijas Universitātē, no 1937. gada bijis privātdocents LU Tiesību zinātņu fakultātē un no 1938. līdz 1944. gadam docents tiesību vēsturē. Viņš studējis un izdarījis zinātniskus pētījumus Latvijas vēsturē pie prof. Arveda Švābes. Pēc ieceļošanas ASV no 1951. līdz 1954. gadam bija Komitejas Latvijas brīvībai loceklis, 1951. gadā sāka arī strādāt Amerikas Balss latviešu valodas raidījumu redakcijā kā tās loceklis, bet no 1959. līdz 1976. gadam bija redakcijas vadītājs. B. Ābers bija publicējis recenzijas un apskatus laikrakstā "Laiks" un žurnālā "Jaunā Gaita". Viņš publicējis daudzus zinātniskus rakstus par Vidzemes zemnieku stāvokli 19. gs. pirmajā pusē un rakstus tiesību vēsturē; kā arī savus pētījumus par pāvesta Inocenta III politiku Latvijā.  (Laiks, 17.10.1990)