Aleksandrs Šostaks nozīmīgu darba mūža daļu veltījis Latvijas Universitātei. Fizikas un matemātikas fakultātē sācis strādāt jau studiju laikā 1971. gadā kā vecākais laborants, vēlāk kā asistents, docents un profesors. Aktīvi iesaistījās fakultātes dzīvē, dažādos laika posmos vadot Matemātiskās analīzes katedru un profesionālo studiju programmu “Matemātiķis statistiķis”, pārstāvot Matemātikas nodaļu fakultātes domē.

Viņa zinātnisko pētījumu tematika bija topoloģija, kopu teorija, kategoriju teorija, nestriktā loģika, daudzvērtīgas matemātiskas struktūras. Aleksandrs Šostaks ir ap 200 zinātnisko publikāciju autors. Viņa vadībā izstrādāti un sekmīgi aizstāvēti 10 promocijas darbi.

Profesors Aleksandrs Šostaks bija Latvijā un pasaulē atzīts zinātnieks ar plašu sadarbības partneru loku Čehijā, Slovākijā, Spānijā, Kanādā, Vācijā, Igaunijā, Ķīnā, Dienvidkorejā, Turcijā. Vairāku starptautisko zinātnisko žurnālu redkolēģiju loceklis, daudzu starptautisko konferenču (EUSFLAT, IFSA, ESCIM, FSTA, u.c.) programmu komiteju pastāvīgais loceklis. Viņa vadībā sekmīgi īstenoti daudzi LZP fundamentālo pētījumu projekti un ES Struktūrfondu līdzfinansētie pētījumi.

Viņš bija viens no Latvijas matemātikas biedrības dibinātājiem 1993. gadā, valdes loceklis kopš tās dibināšanas, priekšsēdētājs no 1996. līdz 2001. gadam.

2004. gadā Aleksandrs Šostaks tika ievēlēts par LZA korespondētājlocekli, bet 2017. gadā kļuva par LZA īsteno locekli. 2017. gadā Aleksandram Šostakam tika piešķirts Valsts emeritētā zinātnieka nosaukums un Pīrsa Bola balva. Viņš ir Latvijas Universitātes  2018. gada balvas ieguvējs par zinātniskās skolas izveidi.